失败的启示
在试图解决欧几里德第五公设问题的过程中，罗巴切夫斯基走上了从失败中发现的道路。欧几里得第五公设问题是数学史上最古老的著名问题之一。它最早是由古希腊学者提出的。公元前3世纪，希腊亚历山大学派的创始人欧几里德(约公元前330年-公元前275年)收集了前人几何研究的成果，编撰了数学发展史上影响深远的数学巨著《几何原本》。这部著作的意义在于，它是最早用公理化方法建立科学理论体系的模型。在这本书里，欧几里德为了推导几何的所有命题，给出了五个公理(适用于所有科学)和五个公设(仅适用于几何)作为逻辑推导的前提。《几何原本》的注释者和评论者对这五个公理和前四个公设都非常满意，除了第五个公设(即平行公理)。
第五个公设涉及平行线。它说:如果一条直线与两条直线相交，同侧的两个内角之和小于两个直角，那么这两条直线如果延长，必相交于那两个内角的边上。数学家并不怀疑这个命题的真实性，只是认为无论从句子还是内容上看，它都不像一个公设，而更像一个可证定理。只是因为欧几里得没有找到它的证明，才不得不把它放在公设里。
为了证明第五公设，完成欧几里德未能完成的工作，从公元前3世纪到19世纪初，数学家们投入了无尽的精力。他们尝试了几乎所有可能的方法，但都失败了。罗巴切夫斯基从1815开始研究平行线理论。起初，他也遵循前人的思路，试图给出第五公设的证明。在保存下来的他的学生听课笔记中，有几个他在何1816-1817学年的教学中给出的证明。然而，他很快意识到他的证明是错误的。前人和自己的失败从反面启发了他，使他大胆地思考问题的相反提法:可能根本没有第五公设的证明。于是，他转而开始寻求第五公设的不可证解，这是一种全新的、与传统思维完全相反的探索途径。正是沿着这条路，罗巴切夫斯基在证明不可证明的第五公设的过程中，发现了一个新的几何世界。
那么，罗巴切夫斯基是如何证明第五公设是不可证明的呢？如何从中发现一个新的几何世界？原来他创造性地使用了一种处理复杂数学问题常用的逻辑方法——归谬法。
这种归谬法的基本思想是，为了证明“第五公设不可证”，先否定第五公设，然后用这个否定命题和其他公理化公设组成新的公理化系统，从中进行逻辑推演。假设第五公设是可证的，即第五公设可以由其他公理公设推导出来，那么新公理系统的推导过程中必然存在逻辑矛盾，至少第五公设及其否定命题是一对逻辑矛盾；另一方面，如果没有矛盾，则反驳了第五公设可以证明的假设，从而间接证明了第五公设不可证明。
按照这种逻辑思路，罗巴切夫斯基否定了第五公设的等价命题，即“平面上一条直线以外的点只能引出一条与已知线不相交的线”，得出了否定命题，“平面上一条直线以外的点至少可以引出两条与已知线不相交的直线”，并利用这一否定命题和其他公理化公设构成了新的公理化系统进行逻辑推演。在推演过程中，他得到了一系列古怪的命题，但经过仔细检查，他没有发现它们之间有任何罗辑矛盾。因此，有远见的罗巴切夫斯基大胆断言，这种新的公理系统“在结果中不存在矛盾”可以构成一种新的几何学，其罗辑的完整性和严密性可以与欧几里得的几何学相媲美。这种没有矛盾的新几何的存在，就是对第五公设可证性的反驳，也就是第五公设不可证性的逻辑证明。由于新几何在现实世界中的原型和类比尚未找到，罗巴切夫斯基谨慎地把这种新几何称为“想象几何”。
在冷漠中宣告新几何的诞生
1826年2月23日，罗巴切夫斯基在喀山大学物理数学系学术会议上宣读了他的第一篇关于非欧几何的论文《几何原理与平行定理严格证明的摘要》。这篇开创性论文的发表标志着非欧几何的诞生。然而，这一伟大成果一公开，就遭到了正统数学家的冷漠和反对。
2月23日，参加学术论坛的都是数学造诣很深的专家，包括著名数学家、天文学家西蒙诺夫，后来成为科学院院士的A.R.KYI-Iφep，以及后来在数学领域颇有声望的H.дб p-A。在这些人的眼中，罗巴切夫斯基是一位非常有才华的年轻数学家。然而，出乎他们意料的是，在简单介绍之后，这位年轻的教授接着说了一些令人费解的话，比如三角形的内角之和小于两个直角，并且随着边长的增加而变得无限小，直至趋于零；锐角一边的垂线不能与另一边相交，依此类推。这些命题不仅离奇古怪，与欧几里得几何不符，而且背离了人们的日常经验。但记者认真而自信地指出，它们属于一种逻辑严密的新几何，与欧几里得有着同等的生存权。这些奇怪的语言出自一位头脑清醒、严谨的教授之口，让与会者大吃一惊。一开始他们表现出一种怀疑和震惊，过了一会又表现出各种否定的表情。
在宣读论文后，罗巴切夫斯基真诚地邀请与会者进行讨论并提出修改意见。然而，没有人会发表任何公开评论，会议气氛冷淡。一项原创的重要发现被发现了。第一次听到发现者自己对这一发现的描述的同行专家，由于思想保守，未能理解这一发现的意义，反而采取了冷言冷语和嗤之以鼻的态度，这实在令人遗憾。
会后，系学术委员会委托西蒙诺夫、古普费尔、博拉斯曼组成三人鉴定小组，对罗巴切夫斯基的论文进行书面鉴定。毫无疑问，他们的态度是消极的，但他们写书面意见的速度太慢，以至于最后连稿子都丢了。
权威的嘲讽和匿名人士的攻击
罗巴切夫斯基的开创性论文未能引起学术界的关注和重视，论文本身似乎石沉大海，不知被弃于何处。但他并没有灰心，而是固执地独自继续探索新几何的奥秘。1829年，他又写了一篇论文，题目是《几何原理》。本文再现了第一篇论文的基本思想，并对其进行了补充和发展。这时，罗巴切夫斯基被选为喀山大学的校长，大概是出于对校长的尊重。论文全文发表在《喀山大学学报》上。
1832年，根据罗巴切夫斯基的要求，喀山大学学术委员会将该论文提交彼得堡科学院审核。科学院委托著名数学家奥斯特罗格拉茨基(M.B. Oct Po гддий，1801-1862)进行评估。新当选的院士奥斯特罗格拉茨基在数学物理、数学分析、力学和天体力学方面都有杰出的成就，在当时的学术界享有很高的声誉。不幸的是，即使是这样一位杰出的数学家也没能理解罗巴切夫斯基的新几何思想，甚至比喀山大学的教授们还要保守。如果说喀山大学的教授们对罗巴切夫斯基本人还算“宽容”的话，那么奥斯特罗格拉茨基则用极具讽刺意味的语言公开指责和攻击罗巴切夫斯基。同年165438+10月7日，他在给科学院鉴定的开头就以嘲讽的口吻写道:“看来作者旨在写一本人们看不懂的书。他达到了他的目的。”于是，罗巴切夫斯基的新几何思想被歪曲和贬低。最后，我毫不客气地断言:“由此我得出结论，罗曼·切夫斯基校长的这本书充满了谬误，因此不值得科学院重视。”
这篇论文不仅激起了学术权威的愤怒，也激起了社会上反动势力的敌对鼓噪。两个名叫布拉切克(c . a .бч·伊帕·ч·埃克)和特伦(C.изллй EHBI)的人用匿名C.C .在《祖国之子》杂志上写了一篇文章，公开点名对洛巴切夫斯基进行人身攻击。在这篇题为《评罗巴切夫斯基作品《几何原理》的文章中，匿名者在开头写道:“甚至很难理解罗巴切夫斯基先生是如何用数学中最简单的几何建立起一个晦涩难懂、不可思议、神秘莫测的理论的。"文章嘲讽道:"为什么我们不能把黑想象成白，把圆想象成方，把三角形内角之和想象成小于两个直角，把π/4和∞想象成同一个定积分？"?非常非常有可能，虽然理性无法理解这一点。”在文章的最后，作者更是厚颜无耻地讽刺道:“为什么不写，比如说，一部讽刺几何的作品，一部几何漫画等等。而不是题目《几何原理》？”
针对这篇侮辱性的匿名文章，罗巴切夫斯基写了一篇反驳文章。然而，《祖国之子》杂志以维护杂志声誉为由扣留了罗巴切夫斯基的文章，从未发表过。对此，罗巴切夫斯基极为愤怒。
《祖国之子》杂志发表攻击科学家的匿名文章并非偶然，而是有一定的政治背景。原来，这本杂志的拥有者布尔加林(увббгиAPиh)和格雷希(m·иггч·佩·ч)与沙皇的秘密政治组织“第三大厅”有联系。他们在“第三大厅”的帮助下维持杂志，并充当帮凶。喀山大学校长罗巴切夫斯基显然是无神论者和唯物主义者，自然会被他们作为危险的对象加以监视。通过歪曲和诋毁新的科学成果来压制和打击有进步思想的科学家，是一切反动势力的惯用伎俩。
在孤独中为生活而奋斗
罗巴切夫斯基开创了一个新的数学领域，但他的创造性工作在生前从未得到学术界的认可。就在他去世前两年，俄罗斯著名数学家布尼亚科夫斯基(вяббяий，1804-1889)在他的著作《平行线》中攻击了洛巴切夫斯基，他试图讨论非欧洲。英国著名数学家摩尔根(1806-1871)对非欧几何表现出更加明显的抵制。他甚至武断地说，“我认为任何时候都不会出现另一种与欧几里得几何有本质区别的几何。”摩尔根的话代表了当时学术界对非欧几何的普遍态度。
在建立和发展非欧几何的艰难历程中，罗巴切夫斯基从未遇到过他的公开支持者，甚至另一位非欧几何的发现者高斯(1777-1855)也拒绝公开支持他的工作。高斯是当时首屈一指的数学大师，被誉为“欧洲数学之王”。早在1792年，也就是罗巴切夫斯基出生的那一年，他就已经产生了非欧几何思想的萌芽，并在1817年达到了成熟的水平。他最初称这种新几何为“反欧几里得几何”。后来叫做“星空几何”，最后叫做“非欧几何”。然而，高斯害怕新几何会引起学术界的不满和社会的反对，从而影响他的尊严和荣誉。去世前，他一直不敢将这一重大发现公之于众，只是小心翼翼地将自己的一些成就写在日记和与朋友的书信中。当高斯看到罗巴切夫斯基的德国非欧几何著作《平行线理论的几何研究》(1840)时，他的内心是矛盾的。一方面，他私下在朋友面前称赞罗巴切夫斯基是“俄国最杰出的数学家之一”，并下定决心要学习俄语，以便直接阅读罗巴切夫斯基的所有非欧几何著作。另一方面，他的朋友不允许向外界透露他关于非欧几何的自白，他也从未以任何形式公开评论过罗巴切夫斯基关于非欧几何的研究工作。他积极推选罗巴切夫斯基为科延根皇家科学院传播学院的成员。然而，在他亲自写给罗巴切夫斯基的评选会议和评选通知中，他避而不谈罗巴切夫斯基对数学最杰出的贡献——非欧几何的创立。
高斯在数学领域的知名度和影响力可能会彻底减轻罗巴切夫斯基的压力，促进学术界对非欧几何的认可。然而，面对顽固的保守势力，他失去了战斗的勇气。高斯的沉默和软弱的表现严重限制了他在非欧几何研究中所能达到的高度，客观上鼓励了保守势力对罗巴切夫斯基的攻击。
在晚年，罗巴切夫斯基感到更加沉重。他不仅在学术上受到压制，在工作上也受到限制。根据当时俄罗斯大学委员会的规定，教授任期最长为30年。根据这一规定，1846年，罗巴切夫斯基向人民教育部递交请愿书，要求解除其在数学教研室的工作，并建议让位给他的学生aφ。波波夫。人民教育部长期以来对不服从他们意愿的罗巴切夫斯基抱有偏见，但它找不到合适的机会解除他的喀山大学校长职务。罗巴切夫斯基辞去教授职务的申请正好被他们用作借口，不仅免去了他主持教研室的职务，还违背了他本人的意愿，免去了他在喀山大学的一切职务。被迫离开他一生热爱的大学工作使罗巴切夫斯基遭受了严重的精神打击。他对教育部的这一无理决定表示极大愤慨。
他家庭的不幸增加了他的痛苦。他最宠爱、最有才华的大儿子死于肺结核，这让他非常难过。他的身体越来越虚弱，眼睛逐渐失明，最后什么也看不见了。大学者罗巴切夫斯基在痛苦和沮丧中走完了生命的最后一程。喀山大学师生为他举行了隆重的追悼会。追悼会上，他的许多同事和学生都高度赞扬了他在建设喀山大学、提高国民教育水平和培养数学人才方面的卓越成就，但没有人提到他对非欧几何的研究工作，因为此时人们普遍认为非欧几何纯属“无稽之谈”。
罗巴切夫斯基为非欧几何的存在和发展奋斗了30多年，他从未动摇对新几何伟大未来的坚定信念。为了扩大非欧几何的影响，获得学术界的早期认可，他除了用俄语发现了自己的法语和德语著作，还精心设计了一套天文观测方案，以检验大尺度空间的几何特征。不仅如此，他还发展了非欧几何的解析和微分部分，使之成为一个完整而系统的理论体系。由于身患重病，卧床不起，他没有停止研究非欧几里得几何。他的最后一部杰作——关于几何——是在他失明和弥留之际向他的学生口述的。
历史是最公平的，因为它最终会对各种思想、观点、意见做出正确的评价。1868年，意大利数学家贝尔特拉米(1835-1899)发表了一篇著名的论文《解释非欧几何的尝试》，证明了非欧几何可以在欧氏空间的曲面(如准球面)上实现。也就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几何命题。如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几里得几何自然也没有矛盾。既然人们承认欧几里得几何不矛盾，自然也就承认非欧几里得几何不矛盾。直到这时，长期被忽视的非欧几何才开始得到学术界的广泛关注和深入研究，而罗巴切夫斯基的原创性研究更是得到了学术界的高度评价和称赞，他本人也被誉为“几何中的哥白尼”。
在科学探索的征途上，一个人经受住一时的挫折和打击并不难。难的是要有在逆境中长期甚至终身奋斗的勇气。罗巴切夫斯基是一个一生都在逆境中奋斗的战士。同样，对于一个科学工作者，尤其是一个有声望的学术专家来说，正确识别那些已经成熟或具有明显现实意义的科学成果也并不困难。那些尚未成熟或其实际意义尚未及时揭示出来的科学成果，是很难鉴别的。每个科学家不仅要做逆境中敢于顽强点头的科学探索者，更要做科学领域新事物的坚定支持者。
受访者:刘晓198812-学徒魔术师三级10-3 16:55。
数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。简单来说就是研究数字和形状的科学。
由于生活和劳动的需要，即使是最原始的人也知道简单的计数，并且已经从用手指或物体计数发展到用数字计数。在中国，最迟在商代就出现了用小数表示大数的方法；到了秦汉时期，已经有了完善的十进制。在《九章算术》中，不晚于公元一世纪，包含了只有在数值系统中才有可能的平方根和平方根的计算规则，以及分数的各种运算和求解线性联立方程的方法，还引入了负数的概念。
刘徽在《算术九章注释》中也提出用小数来表示无理数平方根的奇零部分，但直到唐宋时期(在欧洲，16世纪的史蒂文之后)才普遍使用小数。在这本书中，刘徽用圆内接正多边形的周长来近似圆的周长，成为后世求圆周率的通用方法。
虽然中国从未有过一般的无理数或实数的概念，但实质上，中国早已完成了当时实数系的全部算术和方法，这不仅在应用上是不可或缺的，在早期数学教育中也是不可或缺的。至于继承了巴比伦、埃及、希腊文化的欧洲，则侧重于研究数的性质以及这些性质之间的逻辑关系。
早在欧几里得的《几何原本》中，就有素数的概念和素数的无穷数以及整数的唯一分解等结论。古希腊发现了不带分数的数，现在称为无理数。从16世纪开始，因为解高阶方程，复数又出现了。到了近代，数的概念被进一步抽象，根据数的不同运算规则，从理论上独立讨论了一般的数系，形成了数学的几个不同分支。
平方根和平方根是求解最简单的高阶方程的必要运算。在《九章算术》中，出现了求解一种特殊形式的二次方程。宋元时期引入了明确的“天元”(即未知数)概念，出现了求高次方程数值解和求最多四个未知数的高次代数联立方程解的方法，俗称天元术和四元术。与之相伴的多项式的表达式、算法、消元法接近近世代数。
在中国以外，9世纪阿拉伯人华·拉米兹的著作阐述了二次方程的解法，通常被认为是代数的鼻祖，其解法与中国古代依靠切割的几何方法本质相同。中国古代数学致力于方程的具体求解，而源于古希腊和埃及的欧洲数学则不同，一般致力于探索方程解的性质。
16世纪，吠陀用文字代替了方程系数，引入了代数符号演算。探索代数方程的性质，是从线性方程衍生出行列式、矩阵、线性空间、线性变换等概念和理论的出现。从代数方程导致复数和对称函数等概念的引入，到伽罗瓦理论和群论的建立。在近代异常活跃的代数几何，无非是对高次代数方程组解的集合的理论研究。
形状的研究属于几何学的范畴。古代民族都有简单的形状概念，往往用图画来表示，而图形之所以成为数学对象，是由于工具制作和测量的要求。规则被用作正方形。在中国古代，于霞靠泊水面时有尺、矩、尺、绳等测量工具。
莫箐有一系列几何概念的抽象概括和科学定义。周快的《suan经》和刘徽的《海岛suan经》给出了用矩观察天地的一般方法和具体公式。在刘徽注的《九章算术》和《九章算术》中，除了勾股定理之外，还提出了一些解决各种问题的一般原理。比如求任意多边形面积的互补原理；求多面体体积所需的二比一原理(刘辉原理)；5世纪时，祖(日恒)为了求得一个曲线形状的体积，特别是一个球体的体积，提出了“势若相同，积不可不同”的原理。还有一种极限法(割线)，用内接正多边形来近似圆的周长。但自五代(约10世纪)以来，中国在几何方面的成就甚微。
中国的几何学以面积和体积的测算为中心任务，而古希腊传统则重视形状的性质与各种性质的关系。欧几里得的《几何原本》建立了由定义、公理、定理和证明组成的演绎系统，成为近代数学公理化的典范，影响了整个数学的发展。尤其是对平行公理的研究，导致了19世纪非欧几何的出现。
欧洲文艺复兴以来，通过对绘画的透视关系的研究，出现了射影几何。公元18世纪，加斯帕尔·蒙日应用分析方法研究形状，开创了微分几何。高斯的曲面理论和黎曼的流形理论创造了一种把形状作为一个独立的物体而没有周围空间的研究方法；19世纪，克莱因从群的观点统一了几何。此外，如康托尔的点集理论，它扩大了形状的范围；庞加莱创立了拓扑学，使形状的连续性成为几何研究的对象。这些都让几何学焕然一新。
在现实世界中，数字和形状就像影子一样，密不可分。中国古代数学反映了这种客观现实，数和形从来都是相辅相成，并行发展的。比如毕达哥拉斯测量提出了平方根的要求，平方根和平方根的方法就是基于几何的考虑。二次和三次方程的生成也大多来源于几何和实际问题。宋元时期，由于天元概念和等价多项式概念的引入，出现了几何代数。
在天文学和地理学中，目录和地图的绘制已经用数字来表示地点，但还没有发展到坐标几何的地步。在欧洲，到了14世纪，奥尔斯姆关于经纬度的图形表示和功能的著作已经萌芽。17世纪，笛卡尔提出了几何事物代数表示的系统方法及其应用。受其启发，经过莱布尼茨和牛顿的工作，发展成为坐标解析几何的现代形式，使数形统一更加完善，不仅改变了过去遵循欧几里得几何的旧的几何证明方法，而且引起了导数的产生，成为微积分的根源。这是数学史上的一件大事。
17世纪，由于科学技术的要求，数学家研究运动和变化，包括量的变化和形状的变换(如投影)，也产生了函数和无穷小分析的概念，也就是现在的微积分，使数学进入了研究变量的新时代。
18世纪以来，以解析几何和微积分的创立为契机，数学以前所未有的规模迅速发展，出现了众多的分支学科。由于自然界的客观规律大多以微分方程的形式表达，微分方程的研究从一开始就受到了极大的重视。
微分几何与微积分同时诞生，高斯和黎曼的工作产生了现代微分几何。19与20世纪之交，庞加莱创立了拓扑学，开辟了定性地、整体地研究连续现象的途径。对客观世界中随机现象的分析产生了概率论。第二次世界大战的军事需要，以及大规模工业和管理的复杂性，催生了运筹学、系统论、控制论、数理统计等学科。实际问题需要特定的数值解，从而产生了计算数学。选择最佳方式的要求产生了各种优化理论和方法。
力学、物理学和数学的发展一直是相互影响、相互促进的，尤其是相对论和量子力学，促进了微分几何和泛函分析的成长。另外，在19世纪，化学只用了一个方程，生物学几乎没有用到数学，一些前沿的数学知识已经在用了。
19世纪后期，集合论出现并进入了一个批判时代，它促进了数理逻辑的形成和发展，也产生了各种思潮和把数学看作一个整体的数学基本流派。尤其是1900年，德国数学家希尔伯特在第二届国际数学家大会上就当代数学的重要问题发表演讲，20世纪30年代开创的以结构的概念看待数学的法国布尔巴基学派的兴起，对二十世纪数学的发展产生了巨大而深远的影响，科学数学化一词开始被人们所享用。
数学的边缘不断向自然科学、工程技术甚至社会科学渗透和扩展，并从中汲取营养，出现了一些边缘数学。数学本身的内在需求也催生了许多新的理论和分支。与此同时，其核心部分不断得到巩固和改进，有时还进行适当调整以满足外部需求。总之，数学这棵大树枝繁叶茂，根深叶茂。
在数学的蓬勃发展中，数和形的概念不断扩大，越来越抽象，以至于没有了最初的计数和简单图形的痕迹。尽管如此，在新的数学分支中，仍有一些对象和运算关系是用几何项来表示的。例如将一个函数视为某个空间中的一个点。归根结底，这种方法之所以有效，是因为数学家们已经熟悉了简单的数学运算和图形关系，有着长期而深厚的实践基础。而且，即使是最原始的数字，比如1，2，3，4，还有几何图形，比如点，直线，都已经被人高度抽象化了。所以，如果把数和形理解为广义的抽象概念，那么上面提到的把数学作为研究数和形的科学的定义，也适用于现阶段的现代数学。
因为数学研究对象的数量关系和空间形式来自于现实世界，所以数学虽然在形式上高度抽象，但始终植根于现实世界。生活实践和技术需求永远是数学的真正源泉，反过来，数学在改造世界的实践中发挥着重要而关键的作用。理论的丰富和完善与广泛应用在数学史上一直是相伴而生、相互促进的。
但是，由于各个民族和地区的客观条件不同，数学的具体发展过程也不同。总的来说，古代中华民族用竹子作为计算的工具，自然就产生了十进制的数值体系。计算方法的优越性有助于实际问题的具体解决。由此发展起来的数学形成了以构造性、计算性、编程性和机械化为特征的独特体系，主要目标是从问题出发，然后解决问题。古希腊注重思考，追求对宇宙的理解。由此发展成为以抽象的数学概念和性质及其逻辑相互依赖为研究对象的公理化演绎系统。
中国的数学体系在宋元达到顶峰后，开始停滞不前，几乎消失。在欧洲，经过文艺复兴、宗教革命、资产阶级革命等一系列变革，导致了工业革命和技术革命。机器的使用在国内外都有悠久的历史。然而，在中国，它被明朝初期的皇帝们封杀了，他们认为它是一种奇怪的技能。
在欧洲，因为工商业的发展和航海的刺激而发达。机器把人们从繁重的体力劳动中解放出来，并把他们引向关于运动和变化的理论力学和一般科学研究。当时的数学家积极参与了这些变化和相应数学问题的解决，产生了积极的成果。解析几何和微积分的诞生成为数学发展的转折点。17世纪以来的数学飞跃，总体上可以看作是这些成果的延续和发展。
20世纪，各种全新的技术出现，产生了新的技术革命，特别是电子计算机的出现，使数学面临一个新的时代。这个时代的一个特点是一些脑力劳动逐渐机械化。与17世纪以来数学一直被连续性、极限等概念所支配不同，由于计算机发展和应用的需要，离散数学和组合数学一直受到重视。