这当然是因为卡普是路飞的亲爷爷，而鹤根本就不是路飞的奶奶啊。鹤对于路飞的认知只有路飞是卡普的孙子，以及路飞是海贼，所以鹤当然不会过问路飞的一切。
在动漫《海贼王》中，作者尾田荣一郎并没有说明路飞的母亲和奶奶是谁。鹤作为海军本部少有的女性中将，她和卡普、战国又是同一时期的战友，加上他们三个人的关系很好，所以就有很多小道消息说鹤就是卡普的老婆。
这个消息肯定是假的，卡普和鹤都是海军，如果他们在一起的话，不可能没有人说这个事情。在动漫《海贼王》中，我们所知道的人物关系都是由动漫里的角色所说出来的。就比如卡普、龙和路飞的关系是由卡普亲口说的，在漫画550话中，战国亲口说出了艾斯父母的名字哥尔?D?罗杰和波特卡斯?D?露玖。
卡普和鹤并不需要隐瞒身份和关系，因为没有这个必要。龙、路飞以及艾斯的身份那么敏感，卡普都没有隐瞒，海军本部的人都知道路飞是卡普的孙子。
所以如果鹤和卡普真的是夫妻，动漫中肯定会说明的。如果卡普和鹤只是朋友、同事和战友的关系，那么就很好解释为何鹤不过问路飞的一切。
在现实生活中，即使我们和朋友的关系很好，但是如果我们几乎没有见过朋友的孩子，甚至不认可朋友的孩子选择的道路，那么我们对这个孩子也会亲近不起来。
在顶上战争之前，鹤应该只是听说过路飞，而没有见过路飞。虽然卡普很疼爱路飞并且以路飞为豪，但是鹤对于路飞肯定是没有亲近感的。所以即使卡普和鹤的关系很好，即使卡普称呼她为小鹤，即使鹤会去安慰卡普，但是这依然不是鹤能亲近路飞的理由。
我觉得在目前已经出现的角色中，并没有路飞的奶奶。首先，年龄符合的女性角色很少，其次和卡普有过接触的女性角色就更少了。鹤、达旦和大妈算是呼声最高的三人，但是她们的可能性也很小。
鹤不可能是路飞奶奶的原因已经分析过了，大妈又非常在意子女的实力，如果龙真的是大妈的儿子，大妈肯定要大肆宣传。至于达旦，这个倒是真的不好说，我们只知道达旦是卡普非常信任的人。所以卡普才会把路飞和艾斯丢给达旦照顾。另外，在知道艾斯死后，愤怒的达旦给了卡普一拳。所以达旦虽然嘴上很嫌弃路飞和艾斯，实际上还是很疼爱他们的。
其实，不管谁是路飞的奶奶，都影响不到剧情。而且这个事情，只能等作者官宣。
总结来说，这个问题本身就有问题，因为鹤根本就不是路飞的奶奶，所以她自然会对路飞不管不问。