为什么需要学习数学？这是你需要想清楚的第一个问题。数学分门别类很多，每一本数学书里都有很多定理和结论，需要大量的时间去学习。而人的时间是宝贵而有限的，所以你需要有一个目标和大体的规划，合理安排自己的时间。
1.1你的目标是掌握数学，钻研数学，靠数学谋生。你可能渴望掌握代数几何，或者想掌握前沿物理学。然后你需要打下扎实的近世代数、几何、分析基础。你需要准备大量的时间和精力，要有坚定的决心。(要求:精通高等数学全部三个级别)
1.2你的目标是熟练运用高等数学，解决问题，掌握武器，探索新的应用领域。你可能渴望进入计算机视觉、经济学或数据挖掘领域。然后，你需要打好矩阵理论、微积分、概率统计的基础。(要求:精通一级高等数学)
1.3你的目标是理解数学的乐趣，把学习数学作为人生的爱好。然后，你需要打下扎实的线性代数、数学分析、拓扑学和概率统计基础。对于你来说，体验学习数学的乐趣才是更重要的目标。精通一级高数，游二级高数，尝试接触三级高数)
第二，给自己足够的动力
学习数学需要智力，也需要时间和精力。以下事实是众所周知的:
1.学得快，忘得也快凡是没用的或者有用但用不上的东西。不信你回忆一下你大一或者大三的基础课。你还清楚地记得他们吗？
2.你很难坚持完成自己不感兴趣(或者觉得不感兴趣)的事情。很多人都有这样的经历，一本书，前三章认真读完，然后日期囫囵吞枣，越读越快。反正既没意思也没用。
3.小学数学是中学数学的基础，中学数学是高中数学的基础，高中数学是大学数学的基础(可以这样类比)。
所以，不管你的目标是什么，搞数学，用数学，还是体验数学的乐趣，满足你从小的梦想。学会快乐和学会有用永远是让你的动力不下降的两个最重要的因素。
三、高等数学学什么？
好了，我们来看看标准大学数学的科技树:
一级:
线性代数(矩阵论)、数学分析和近世代数(群环域)分别包括几何、分析和代数的基础理论。别忘了概率论(以分析为基础的基础学科)。
第二级:
有了这些基础，下面就是基础、抽象和概括:测度论(积分的基础，当然还有概率论的基础)、拓扑学(与集合、空间、几何相关的极其重要的基础学科)、泛函分析(线性代数的推广)、复变函数(分析的推广)、常微分方程和偏微分方程(分析的推广)、数理统计和随机过程。
然后就是一些小清新和应用学科:数值分析(算法)、密码学、图形学、信息论、时间序列、图论等等。
第三级:
再往上是研究生项目，往往会涉及到代数、几何、分析一起:微分流形、代数几何、随机动力学等等。
这个科技树的第三级和小学、初中、高中数学很像。一层是不精通学问，下一层是读天书。
第四，如何学习
4.1适量提问
永远，永远不要做任何疯狂的事。玩过战略对抗游戏的同学都知道，初级兵造几个就够了，只有省钱，后期才能赢。初级战士不仅攻击力低，而且没有好玩的魔法。他们存在的意义就是让你有能力忍耐到后期。上面列了那么多课程。你用五年的时间做完六套吉米诺维奇的数学分析习题，你就30岁了，二级课程还没开始学。所以，课后做一些练习就好了，帮助你复习，思考，保持大脑运转，保持逆向学习。如果你完全不懂，回来做练习，帮你理清思路。
4.2理解想法
数学的本质不是问题的数量，而是思想的掌握。数学的每一个分支都有自己的主要思想和方法论，不同的分支也有自己的思维方式可供比较和借鉴。关注它，模仿它，琐碎的知识就会串成一条项链，你就掌握了一课。思想不是看课本就能轻易理解的。你得读几本书才能理解一些应用。举两个例子:
微积分有几条主线:认识到微观和宏观是相关的，微分用来描述事物如何变化，它把细节放大给你看，积分用来描述事物的整体性质；微分和积分有时是描述一种现象的不同方式，在数学分析书上你可能不容易发现，但如果你学物理，你会发现麦克斯韦方程组同时具有等价的微分和积分形式；积分变换可以建立不同空间之间的联系，空间与空间边界之间的联系，这就是斯托克斯定理:这个公式最迟只能在微分流形中看到。
矩阵是空间中线性变换的抽象，线性代数的全部意义就是研究空间线性变换算子如何表示、简化和分类。SVD分解不仅广泛应用于应用学科，也是你理解矩阵的有力工具。矩阵是有限维空间中的线性算子。了解“空间”不仅可以帮助你重新理解矩阵，还可以为泛函分析的学习开一个好头。
4.3渐进式迂回学习，比较学习
很多时候只读一本书，可能是因为作者的思维在某个地方跳跃了，以后你就跟不上了。学习数学的一个窍门是，你同时拿到几本国际知名的教材，相互比较，或者读完一本后再读另一本同一主题的书，可以跳过熟悉的内容。不理解就停止思考或者做练习，或者不理解就退后一步，从自己能理解的部分往前走。当你读得多了，你会发现某个东西出现在很多地方，你对它的理解也会加深。举两个例子:
国内一些数学分析书籍中可能没有介绍外微分。我第一次见到它是在彭的《微分几何》中，认为它是一个方便而巧妙的工具。后来看了Zoroach的《数学分析》和Rudin的《数学分析原理》，都讲了这个东西。可见，分化是西方之外的基础知识。想要理解，可能要先理解矩阵，明白行列式只是矩阵变换下空间体积展开的倍数，是线性形式。最后，当你读微分流形的时候，你会发现外微分是一个在流形上获得斯托克斯定理的工具。
应用不需要点集拓扑。但要想深入学习，这门学科是必须掌握的，因为它提供了开集、紧集、连续性、完备性等基本数学概念的准确描述。学完泛函分析和微分流形，没有这些概念你将寸步难行。首先，你应该读一读Munchris的代表作拓扑学。那么，在阅读其他外国人写的书时，你或多或少会接触到一些相关的概念，你的理解也会加深。比如读鲁丁的泛函分析，一开始就会介绍线性拓扑空间，可以用之前的知识。
4.4建立不同学科之间的联系
当你看到一个东西用在很多地方，你对它的理解就会加深，你就会逐渐体会到这个东西的精妙。最后你会发现，所有的基础学科在后续的应用中是相互交织，相互帮助的，真正意识到自己是真的基础，真的有用。这是体验数学乐趣的一种方式。
4.5重视应用学科
没有什么比应用更能激发你对新知识和新工具的渴望。找一些有趣的应用学科教材，读一读，开阔眼界，为自己的未来积累资源。下面就根据自己的专业(计算机视觉)和爱好来说一些优秀的专业书籍:
学完微积分后，可以无压力地阅读《费恩曼物理学讲义》第一卷，了解力、热、光、时空的奥秘。学完偏微分方程后，你可以毫无压力地阅读费恩曼的《物理学讲义》第二卷，了解电的奥秘。学完矩阵理论，可以买一本计算机视觉中的多视图几何，了解成像的奥秘，编程实现图像序列的三维重建。学过概率论的同学应该听说过贝叶斯学派和频率学派。这两个学派的人把战场拉到了机器学习领域，成就了《模式识别与机器学习》和《统计学习的要素》两部经典著作。看完之后，我对基础数学为机器学习领域提供的丰硕成果和深刻见解印象深刻。从头看完光线追踪，我写了一个光线追踪器来渲染真实场景，是基于一点微积分和矩阵。......
高等数学的应用太多了。如果你喜欢编程、自动化、机器人、计算机视觉、模式识别、数据挖掘、图形图像、信息论和密码学...到处都有很多模型让你玩，只需要一点高等数学。在这些领域，你可能会发现找工作目标比数学书更有趣、更容易。
4.6找一些有趣的书来读
数学家写的书有时候很死板，但总有一些教科书。它们的作者有强烈的欲望要向你展示“这个东西其实很有趣”“这个东西不是你想的那样”等等。他们成功了；还有一些作者喜欢给你看一个东西在不同领域的应用，不同的东西在某个领域的应用。这样的书会给你提供足够的乐趣去读下去。典型代表是国内出版的一套图灵数理统计丛书。这套书真的很棒，比如线性代数应该学习的方式，复分析:可视化方法，微分方程导论，动力系统与混沌。个人认为都是学习数学必读的经典教材，非常非常有趣。
第五，多读书，读好书。
如果只有一句话概括如何培养数学能力，那就是这句话:多读书，读好书。所以，我想单独在这一步多说几句。
想必大家对小学数学都非常精通，能够熟练应用。如果你想了解代数几何，或者退一步讲，想了解信息论的基础，那就选几本好的基础教材，最好是外国人写的，像掌握小学数学一样掌握。不要只看一本书，找三本不同作者的书，比较一下，一行一行读。有些地方我看不懂。写下来。可能我在另一本书的某个地方从另一个角度提到了这个东西。
如果以后想学，现在看到的每一个基本定理以后都会用到。
每一本基础书，你今天放弃，明天再来。
就像读经一样，交叉阅读，比较不同教材的异同。
5.1.推荐教材(其实是我看过觉得不错的书):
第一级:
线性代数就应该这么学。
Zoroach的数学分析(两卷)(看英文版，不难。有朋友说这个还是不容易，可以先看一本国产教材，再回头看这个)
复旦大学概率论
第二个层次:
芒奇里斯拓扑
图灵级数的几卷
科斯特尔金的代数入门
统计学习理论的本质
鲁丁的数学分析原理
鲁丁的功能分析
甘末林复分析
彭的微分几何
涵盖信息论的基础
第三个层次:
微分普及性和黎曼几何
现代几何，方法和应用，三卷
5.2.看一些科普教材。
什么是数学
从高角度看初等数学
巴赫、埃舍尔和哥德尔。
e的故事
5.3.阅读各领域最有趣、最生动、信息量最大的教材和书籍，最注重应用，最通俗易懂的写作风格。
三卷本费恩曼物理学讲义。
混沌和分形:科学的新前沿
微分方程、动力系统和混沌导论
复杂分析:可视化方法
最后我想说，数学是个无底洞，会消耗你宝贵的青春。什么都不懂，可能会启发你去理解现代数学，但往往会半途而废，同时在剩下的时间里对另一门科学也不精通。而且就算你精通纯数学，没有几篇好文章也不好找工作。
我的建议是在读数学的过程中开阔眼界，纯数学和应用数学都要看，找一个有趣的、应用广泛的、好找工作的方向(来挣钱)然后一头扎进去，成为自己的事业。比如数学扎实，编程能力强的人就很有前途。
作者:王小龙
链接:/question/19556658/answer/26950430
来源:知乎。
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