〕“阿基里斯追不上乌龟”的论证，依靠了形式逻辑。形式逻辑本身不能无限制地连续使用，即不能保证从正确的前提推导出正确的结论，推导的步骤越多，逻辑的失真程度越大，甚至可以得出很荒唐的结论。要保证正确的前提不走向错误的推论，逻辑推导的步骤不能太多，步骤越少，失真的危险越少。理论具体形态的自圆其说，在逻辑性和客观性及文法等方面都是相对的。
〔关键词〕 阿基里斯，形式逻辑，不连续性
一、逻辑应用的困境
“阿基里斯追不上乌龟”①是古希腊一个哲学故事。阿基里斯是当时一个善于长跑的人，他当然能够追上乌龟，用方程方法可以解决。假设阿基里斯的速度为a，乌龟的速度为b，阿基里斯开始追赶乌龟的时候，乌龟在阿基里斯的前面，假设这段距离为c，请问需要多少时间阿基里斯可以追上乌龟?设所需要的时间为x，那么ax=bx+c，x=c/(a-b)。由于abc都是常数，x当然可以求得一个解。当然如果ab的差如果很小，那么解可以趋于无穷大。但是这个哲学故事是讲，不论阿基里斯比乌龟跑得有多快，他都追不上乌龟。
可见用思维的方法，我们也能够解决问题，而不仅是用实践或实验的方法。但是当我们引入无限分割的问题时，事情就出现了变化。如果我们这样思考：阿基里斯在追赶乌龟的过程中，或者追上乌龟之前，必须先走完乌龟当前已经超过他的距离。这不是假设，而是确实应该的事情。但是这种思维方式却是假定的，你可以用这样的思维方式，也可以不用。一旦用了这样的思维方式，就会使思维过程没有完结，从而使得阿基里斯追不上乌龟。按照这种思维方式，当阿基里斯走完乌龟超过他的距离后，乌龟在这段时间里也前进了一段距离，虽然愈来愈小。这样的思维可以无限重复。每次这样的思维，结果都是一样的，在这个过程中，逻辑并没有犯错。我们可以把这样的思考无限循环下去，而且乌龟继续前进的距离永远不会是零，虽然趋向无穷小。于是，可以用形式逻辑的方法，推出阿基里斯永远追不上乌龟这样的结论。
这个故事中所讲的问题，是古希腊哲学家芝诺的发现。他认为，阿基里斯回不了家。假设我们用无限分割的思想，可以这样思考：在阿基里斯回家的过程中，必须先走完部分距离，接下来他要走完剩余距离，也必须先走完其中的若干部分，这样也可以无限地思考下去，也就是说这种思维可以无限重复下去，那么阿基里斯在人的思考中永远回不了家。这两种思维的实质都是无限分割。可以确定，第一次分割的结果不会为零，第二次分割的结果也不会为零，后面都是同样的分割。我们如果以逻辑为根据，就没有理由认为最终的分割会为零。
这些哲学谜题在中国古代也有，例如“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，是讲一根棍棒，每天用掉一半，那么永远也用不完。但是我们要注意物质和空间是不同的，空间的无限分割更复杂。根据当代物理学原理，物质的无限分割有两方面，一方面是宏观物质不能无限分割，分割到分子或者原子的时候，物质就不能保持自身了。但是从物质起源看，到目前仍然不了解物质无限分割的界限，这是物理学上有关物质结构的问题。
在外国哲学中类似的问题也很多。如：“最后一根稻草”的故事，是讲一头驴子可以承受若干重量的稻草，请问怎样才能让他承受无限多的稻草，或者如何确定哪一根稻草是压垮驴子的最后一根稻草?可以用这样一个方法，给这头驴子的背上一根一根的往上加稻草。设定一个“公理”，如果驴子承受了一根稻草，给它再加一根，被加上的这根稻草不会压垮驴子，那么后面连续加上的也不会压垮驴子。现实中许多人有这种思维，以为永远不会有压垮驴子的最后一根稻草，于是为所欲为。
在西方还有一个关于“秃子”的哲学故事，是讲一个正常人的头发增加一根头发或减少一根头发，不是秃子与否的区别。如果这个说法能够成为“公理”，那么每次拔掉一个头发正常的人一根头发，并且问“他变秃了吗?”当然不能找到依据来确定某一根头发就是秃与不秃的界限，从而不能回答他是否成为秃子。那么把这种思维和作法延续下去，直到最后把他的头发全拔光了，他也不会是秃子。即使想给秃子下定义，确定秃子的数量规定，也是很难的，主要是难以找到这种定义的物理或哲学的依据。即使用集体协商的办法，也很难给秃子下定义。当然，现在可以用生物学或基因学的知识来给秃子下定义，或许在基因上秃子和正常人有质的区别。
在现实生活中这种事例较多，人们称之为“切香肠”，第一次切去一薄片，请问它还是一根香肠吗?当然是;那么再切一片，请问它还是一根香肠吗?仍然是。这样无限切下去，并且随之问下去，但是直到切完它，前一次和下一次并没有本质的区别，但整体却变了。那么请问，是哪一次使香肠由“一根”变得不是“一根”了呢?好像没有界限。
以上问题的特点是整体上容易解决，但对事物作无限分割，前次分割与后次分割没有本质的区别，于是找不到“事物由存在到不存在”过渡的连接点。也就是在以上的现象中找不到量变与质变的界限。
二、对形式逻辑的反思
以上的问题怎么解决呢?或许可以用微积分的方法。在阿基里斯追不上乌龟的故事中，涉及到“对有限空间在有限时间内以无限速度作无限分割”的问题。这个分割实际就是无穷小，我们完全可以规定这个无穷小等于零，因此只要出现无穷小的现象或情况，我们就可以认为零要出现，事物的变化就有确定性。
我们和古人的区别在于，我们认为无穷小是零，而古人认为无穷小永远不能等于零。实际上无穷小是一个完整的概念，一旦把它有限化，那么它就不是零了。要找到零与非零之间的界限，实际上还是用有限的方式，去思维某个无限的对象，或者把有限的事物予以无限化。
这里或许可以用哲学来概括，逻辑是不连续的，既然无穷小在整体上和它的具体表现是不连续的，前者是零，而后者不是零，也即零与非零是不连续的。古人的问题就在于他要把无限分割和无穷小用连续的方法予以处理，而我们现在则用不连续的方法予以处理。
用哲学来总结，或许还可以得出这样一个观点：在形式逻辑的运用中，即使起点是正确的，再加上正确的过程，即三段论的大前提和小前提都是正确的，那么得出的结论也不一定正确，因此不能迷信三段论，不能迷信形式逻辑。在前面的哲学故事和对这些故事的分析运用了形式逻辑和三段论。在阿基里斯的故事里，大前提是分割可以穷尽或者分割后空间可以为零，小前提是不能穷尽又不能为零，结论是阿基里斯不能追上乌龟，也不能回家。
可见，对一个复杂问题，不能从一个正确的结论试图推导出正确的结论，而且推导的步骤越多，那么逻辑的失真程度可能越大，甚至可以得出很荒唐的结论。也就是说，如果想保证正确的前提不走向错误的推论，那么用形式逻辑的步骤不能太多，只能用有限次数的步骤，而且用的步骤越少，失真的危险越少。因此，对形式逻辑的运用要限制。在形式逻辑的思维中，我们永远也找不到正确和错误的界限。
逻辑的功能只是帮助人们提出假设，然后在假设的基础上，引导人们去从事实证和实践检验。逻辑永远不应该承担检验知识的功能。爱因斯坦说：想像力比知识更重要。②在认识过程中，想像力的作用是关键的，同样检验的作用也很重要。而想像力是什么呢?想像力当然有非逻辑的想像，但是更多的是运用逻辑进行想像。用逻辑可以有力地推进人的认识活动，但是必须给适当的定位。也就是说，逻辑永远是假设，用爱因斯坦的概念来说，逻辑永远只能停留在想像的阶段。任何好的逻辑推理都是假设而已，所包含的道理永远不能等同于真理和实际。
因此，在认识过程中，要运用多种思维方式，认识事物要从多种视角看，既要从整体看，又要从局部看;既要从总体看，又要从个别看。多种方法都是需要的，但是没有绝对正确的。对简单的问题人类当然能够解决，对复杂的问题要注意多种方法之间的转换。思维方式的多样化给人类进步提供了契机，特别是理性的和非理性的，逻辑的和知觉的思维模式之间没有必要追求单一。
对形式逻辑的警惕在古代并没有引起充分的注意。古代欧氏几何是形式逻辑的积极范本，但是在欧洲思想史的现代时期，以唯理论为代表却把形式逻辑推向了极端。唯理论所推崇的理性，实质就是用欧氏几何为典范的形式逻辑完整演绎世界的图景。“诉诸理性，实质即诉诸逻辑。”③这一文化在当代被概括为现代主义。当代对理性和形式逻辑的反思日益深入。福柯说：“没有比理性更没用的了。”夏威夷大学的华裔美国学者郑学礼说：逻辑其实是最不符合事实的。这种批评不见得处处正确，但是确有必要深入反思理性的定位。陈新夏教授认为：“在现代认识和实践中，必须超越传统理性主义。”要超越传统理性主义，必须对形式逻辑在理性中的能力作出新的反思。
三、对逻辑形式的反思
逻辑的本质是语言，对它的反思还应该深入语言。形式逻辑实际上就是利用语言来思维。逻辑中的规律就是人类利用语言思维的时候所具有的规律，以及所具有的局限性。何谓形式逻辑，所谓逻辑的形式是什么呢?就是语言。在古代有这样一个笑话，说猿猴和人类很像，狗熊又和猿猴很像，狗又和狗熊很像，那么是否可以说狗和人很像?显然不是。可见，语言有放大和缩小的功能，它可以作为认识的前导，但是不能作为认识的全部。过去人们把逻辑叫做思维的规律。这种定义把逻辑等同于思维，这是不正确的。逻辑是思维和语言***同作用时的现象，要用思维和语言***同来定义逻辑。
因此，逻辑的不连续性，实际上就是语言的不连续性。而语言和客观实际的符合程度值得人类反思，我们不应该以单纯的人类语言为中心，而应该以客观实际为中心。人类应该用语言和意识直接反映客观世界，而不应该脱离客观世界，醉心于纯概念的推演。不能用语言和思维独立地推导客观世界的图景，然后不注意客观世界，而停留在语言和逻辑的范围内，苦思冥想地检查思维的正确与否，并且一旦认为自己的思维达到自圆其说，就乐观地以为这种思维已经万无一失，于是以这种思维作为客观世界本身的规律和本质，以为思维和世界已经达到了完全的同一。在这样的思维下，必然追求对他人的思想强迫和文化灌输，并且会导致他人的思想僵化。
这也要求对“自圆其说”作一个合理的定义。“自圆其说”是文法概念，不是认识论概念。在文法上应该做到自圆其说，当然在文法上也没有绝对的自圆其说，要做到自圆其说是没有止境的。在逻辑性和客观性上，则应该了解任何自圆其说的东西，都是相对的，它相当于经济活动中的产品，在功能设计上永远没有止境。在逻辑上自圆其说的理论和观念，在逻辑性和客观性方面，是没有止境的。也就是说，理论在逻辑性和客观性以及在文法等方面都是永远做不到绝对的自圆其说。
爱因斯坦说，世界是那么简单，以致没有人能够理解它。世界本来是简单的，不需要过度的逻辑演绎，只需要简单的直观的描述，当然是直观的而非神秘的直觉。如果用逻辑来演绎世界，就把它复杂化了，还可能歪曲世界。当然，逻辑并不是没有价值，只是对它的定位必须适当，它是认识过程中的一个环节，可以帮助人们提出灵活多样的假设，为最终的认识提供尽可能多的选项，使认识在试错和摸索中前进。只有这样，才能提高主体的创造性和思维的灵活性，也可以帮助可怜的阿基里斯追上那只并不神秘的乌龟。